如何评价2026考研数学一难度

各位考研学子，大家好。今天我们将为大家系统性地梳理关于如何评价2026考研数学一难度的核心信息与相关要点。下文将深入解析一名大学数学老师回答的相关内容，文章内容详实，建议同学们仔细阅读，以期能为你们的择校与复习规划提供清晰的指引。祝愿各位备考顺利，一战成硕!

很多人笑着出考场，真的很简单吗?

（文章来源链接：https://www.zhihu.com/question/1986011608510653717/answer/19865683162）

作为一名大学数学老师，我个人逐题完成了此份试卷的解答(题目来自网上，应该比较靠谱), 并且据此做了一份真题解析教案(包含14页B5纸)，本回答中将予以部分展示。

对这份试卷总的评价是——这是一份对复习踏实，功底扎实的学生非常友好的试卷——这一部分学生完全有资格、有可能笑着走出考场。

下面我简单地对这份试卷的具体难度做一点评。

一、选择题(5分*10=50分)

1. 设 x−az=ey+azx-az=e^{y+az} ，则 ∂z∂x−∂z∂y=1a\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{a} ，选(A)，但具体选项就不写了，下同。

本题考查隐函数求(偏)导公式，基础难度，建议用时4min。

注：即使基础难度，我也没有在建议用时中过于压缩时间，因为这种难度考场上肯定是准确率优先，就是说，这种题目的分数一定是要稳稳地拿到手里的，并不是一味追求什么速度。

2. 幂级数 ∑n=1∞(3+(−1)n4)nx2n\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\frac{3+(-1)^n}{4})^n x^{2n} 的收敛域是： (−1,1)(-1,1) , 本题选(D).

本题考查幂级数收敛域的判定，需要对 nn 奇偶数进行讨论，取两个收敛域的交集，基础/强化难度，建议用时4-5min.

注1：所谓强化难度，仍然可以认为是基础题，但需要通过一定的针对性训练予以扎实掌握。而所谓基础/强化难度，是因为不同同学学习的程度不同，学习能力强的同学基础阶段就能学会，其他同学可能还需要进行强化训练后予以掌握——我一般都把这些题目归类为基础题。

注2：本题也可以代入四个选项的区间端点进行判断，考场上可能还更快一点。

3. 设 f(x)f(x) 在 [−1,1][-1,1] 上有定义，则

(A) 当 f(x)f(x) 在 (−1,0)(-1,0) 上单调减少，在 (0,1)(0,1) 单调增加时， f(0)f(0) 是极小值。

(B) 当 f(0)f(0) 是极小值时，有f(x)f(x) 在 (−1,0)(-1,0) 上单调减少，在 (0,1)(0,1) 单调增加。

(C) 当 y=f(x)y=f(x) 的图形在 [−1,1][-1,1] 为凹时， f(x)−f(1)x−1\frac{f(x)-f(1)}{x-1} 在 [−1,1)][-1,1)] 单调增加。

(D) 当f(x)−f(1)x−1\frac{f(x)-f(1)}{x-1} 在 [−1,1)][-1,1)] 单调增加时，y=f(x)y=f(x) 的图形在 [−1,1][-1,1] 为凹。

分析：(A)错误，其实类似的题目在之前的真题中出现过，比如2019年的这道分段函数求极值的真题，答题时第一步就是要验证在分段点的连续性——

(B) 错误，极值点的两侧不需要有所谓确定的单调性。

(C) 正确。其实这几年的真题中多次考到凹凸性的等价定义，下面是我的教案中写的证明，供大家参考：

(D) 错误，凹凸性不能仅以一点 x=1x=1 处的性质来定义，反例交给学生自己举出。

本题考查函数极值和曲线凹凸性的相关性质，应该说有一定的难度，建议用时5-8min.

4. 设Ω由曲面 z=x2+y2,z=4−x2−y2z=\sqrt{x^2+y^2}, z=\sqrt{4-x^2-y^2} 围成，求∭Ωf(x2+y2+z2)dxdydz\iiint\limits_{\Omega}f(x^2+y^2+z^2)dxdydz

的球面坐标表示——当然这是一道选择题，题目也不是这样问的。

在球面坐标下，区域可以描述为 0≤θ≤2π,0≤φ≤π4,0≤r≤20\leq \theta \leq 2\pi, 0\leq \varphi \leq \frac{\pi}{4}, 0\leq r \leq 2 ，剩下的表示交给学生完成，别忘了球坐标变换的雅可比行列式。本题选(C).

本题考查三重积分在球面坐标下的区域表示形式，基础/强化难度，建议用时3-4min.

5. 单位矩阵经过若干次互换两行得到的矩阵称为置换矩阵，假设A为n阶置换矩阵，则A*， A−1A^{-1} 哪个也是置换矩阵?

答案是 A−1A^{-1} 也是置换矩阵，这可由初等变换和初等矩阵及其逆矩阵的性质直接推出。

基础难度，建议用时2-3min.

6. 设A,B为n阶矩阵，β为n维列向量，若A的列向量组可由B的列向量组表示，则若Ax=β有解，Bx=β也一定有解——这是选项(A).

学生可以尝试证明上述结论。

本题考查分块矩阵的运算，线性方程组的矩阵表示法。基础/强化难度，建议用时4min.

7. 设二次型 f(x1,x2,x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3=−1f(x_1,x_2,x_3)=a(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+4x_1x_2+4x_1x_3+4x_2x_3 =-1 表示圆柱面，求a的值以及二次型的标准形。

本题考查二次型与二次曲面之间的对应关系，比如本题二次型的矩阵为两个相等的负特征值以及0特征值。解答时要先写出二次型的矩阵，计算其行列式 (a+4)(a−2)2=0(a+4)(a-2)^2=0 得到a=-4或a=2.

一定要继续验证——之后可得a=-4，此时特征值为 0,−6,−60,-6,-6 ，标准形学生自己写出。

基础难度，建议用时4-5min.

8. 随机变量 X∼N(1,2),f(t)=E((X+t)2)X\sim N(1,2), f(t)=E((X+t)^2) ，求 f(t)f(t) 的最小值。

本题考查常见分布之数字特征，简单计算可得 f(t)=t2+2t+3,f(−1)=2f(t)=t^2+2t+3, f(-1)=2 为其最小值。

基础难度，建议用时3-4min.

9. 设连续型随机变量X的分布函数为 F(x)F(x) , 随机变量Y的分布函数为F(ay+b),F(ay+b), 并且有

E(X)=μ,D(X)=σ2(σ>0).E(X)=\mu, D(X)=\sigma^2(\sigma>0). 若 E(Y)=0,D(Y)=1E(Y)=0,D(Y)=1 ，求 a,ba,b .

本题考查随机变量的数字特征的计算式，基础/强化难度，建议用时5min.

本题答案为 a=σ,b=μa=\sigma, b=\mu .

10. 设 P{X=k}=12k+1+13k,k=1,2,⋯P\{X=k\}=\frac{1}{2^{k+1}}+\frac{1}{3^k}, k=1,2,\cdots ，则对于任意正整数 m,nm,n ，请判断 P{X>m+n|X>m} P\{X>m+n|X>m\} 与 P{X>n}P\{X>n\} 之间的大小关系。

这是条件概率的直接计算，不算复杂的一个放缩(可能会有学生觉得不太简单)就得到前者大于后者——其实本题考场上可以使用特例，直接令 m=n=1m=n=1 ，计算后验证即可。

本题考查条件概率(无穷级数)之计算，强化难度，建议用时5-6min。

二、填空题(5分*6=30分)

11. 设 v1→=(0,x,z),v2→=(y,0,1),F→=v1→×v2→\vec{v_1}=(0,x,z), \vec{v_2}=(y,0,1), \vec{F}=\vec{v_1}\times \vec{v_2} , 则 divF→=div \vec{F}= ________.

本题考查最简单的向量积以及散度的计算，基础难度，建议用时3min。答案为： 1+z1+z .

12. 极限 limx→0(1x−ln⁡(1+x)xsin⁡x)\lim\limits_{x\to 0}(\frac{1}{x}-\frac{\ln(1+x)}{x\sin x}) =_________.

本题考查极限的计算，麦克劳林公式以及等价无穷小，基础难度，建议用时2min。答案为： 12\frac{1}{2} .

13. 设 {x=2sin2⁡t,y=t+cos⁡t\begin{cases} x=2\sin^2 t, \\ y=t+\cos t \end{cases} , 0

本题考查参数方程计算二阶导数，基础难度，建议用时4-5min。答案为： −28-\frac{\sqrt 2}{8} .

14. 反常积分 ∫1+∞ln⁡(1+x)x2dx=\int_1^{+\infty} \frac{\ln(1+x)}{x^2}dx= _________.

本题考查反常积分的计算，分部积分法，基础难度，建议用时3min。答案为： 2ln⁡22\ln 2 .

15. 设 A=(1002a202a),B=(a−1−1−121−1−1a),m(X)A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & a & 2 \\ 0 & 2 & a \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} a & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & a \end{pmatrix}, m(X) 表示矩阵 XX 之最大实特征值，若 m(A)

本题考查含参数的矩阵之特征值的计算，对一部分学生(特别是眼高手低的话)而言是有难度的。

强化难度，建议用时5-7min。

本题可计算得 AA 的特征值为 1,a−2,a+21, a-2, a+2 , 以及 BB 的特征值为 2,a−1,a+12,a-1,a+1 , 之后对 aa 分情况讨论，结合题设要求，可得 aa 的取值范围为 (−∞,0)(-\infty, 0) .

16. 设 X∼P(1),Y∼P(3),XX\sim P(1), Y\sim P(3), X 与 Y−XY-X 相互独立，则 E(XY)=E(XY)= ________.

本题考察泊松分布的数字特征，随机变量的独立性，基础难度，建议用时≤3min。答案为：4.

三、解答题(共70分)

17. (10分) 求 f(x,y)=(2x2−y2)exf(x,y)= (2x^2-y^2)e^x 的极值。

本题是一道非常简单的无条件极值的计算题，基础难度，建议用时8-10min。

答案： f(−2,0)=8e−2f(-2,0)=8e^{-2} 为极大值，另一驻点(0,0)经判断不是极值点。

18. (12分) 设 f(u)f(u) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 具有三阶连续导数， 函数 F(x,y)F(x,y) 满足

dF(x,y)=f(xy)x2ydx+f″(xy)xy2dy,xy>0d F(x,y)= \frac{f(xy)}{x^2y}dx + \frac{f''(xy)}{xy^2}dy, xy>0

(1)证明： f″(u)u−f(u)u=c,c\frac{f''(u)}{u}-\frac{f(u)}{u}=c, c 为常数。

(2)又 f(1)=1,f′(1)=−1,f″(1)=0,f(1)=1, f'(1)=-1, f''(1)=0, 求 f(u).f(u).

本题考查第二型曲线积分的路线无关性的等价条件，常系数非齐次线性微分方程的求解，以及一个常见的导数形式—— (f(x)x)′=xf′(x)−f(x)x2(\frac{f(x)}{x})' = \frac{xf'(x)-f(x)}{x^2} ——这些常见的形式是考研出题的重要参照物，学生复习时需要引起重视。

本题是典型的强化难度，建议用时15min.

第(2)问比较简单，注意求的是满足初始条件的特解，答案为： f(u)=e1−u−eu−1+uf(u)=e^{1-u}-e^{u-1}+u .

19. (12分) 有向曲线 L:x2+3y2=1L:x^2+3y^2=1 之沿逆时针从 A(−12,−12)A(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}) 到 B(12,12)B(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) 的部分。

求 I=∫L(ex2sin⁡x−2xy)dx+(6x−x2−ycos4⁡y)dyI=\int_L (e^{x^2}\sin x - 2xy)dx + (6x-x^2-y\cos^ 4 y)dy .

本题考查格林公式的常见用法(补线法)，椭圆面积的公式(一半)，以及对称区间上的定积分计算中注意函数之奇偶性等重要考点。

基础/强化难度，计算量也不大，建议用时10-15min，准确率优先。

本题答案为： 3π−14\sqrt 3 \pi - \frac{1}{4} .

20. (12分) 设可导函数 f(x)f(x) 严格单调递增， ∫−11f(x)dx=0,\int_{-1}^1 f(x)dx=0, 记 a=∫01f(x)dx.a=\int_0^1 f(x)dx.

(1)证明： a>0.a>0.

(2)令 F(x)=a(1−x2)+∫1xf(t)dtF(x)=a(1-x^2)+\int_1^x f(t)dt ,证明存在 ξ∈(−1,1),\xi \in(-1,1), 使得 F″(ξ)=0F''(\xi)=0 .

本题考查常见的定积分 ∫−aaf(x)dx=∫0a(f(−x)+f(x))dx\int_{-a} ^a f(x)dx = \int_0^a (f(-x)+f(x))dx ——熟悉我的学生都知道，这个公式我强调过好多好多次。

第二问考查罗尔定理，将二阶导数等于零的证明类问题转化为证明函数在三个点的函数值相等，本题中是 F(−1)=F(0)=F(1)=0F(-1)=F(0)=F(1)=0 ，其余留给学生自行完成。

中值定理终于不考泰勒中值定理了，哈哈~~

本题也是典型的强化难度，建议用时15min以内。

21. (12分)

本题考查向量组的极大无关组的计算，以及由极大无关组表示整个向量组的方式，因为极大无关组不是唯一的，基本上这个考点的考查方式就是本题这种方式了。

第(1)问非常简单，但因为还有第二问，所以初等行变换将其化为行最简形还是要踏踏实实做。

第(2)问有同学反映还是按常规方法，对矩阵 AA 做对角化进行计算——我没有这样做，但有学生跟我说这个矩阵不能对角化——那这样的话考场上可要大量耗时间在这道题上了，其实还要幸亏这是倒数第二题，对大局的影响不会那么大。

但是同一道题目的小问之间肯定是有联系的，我们没有任何理由把矩阵H解出之后随之就束之高阁，又跑去非常僵化地使用所谓对角化方法了，那是毫无道理的。

其实这一问只要注意到 HG=(1−101),(HG)n=(1−n01)HG= \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, (HG)^n = \begin{pmatrix} 1 & -n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ，就能方便地得出结论。

第二问的答案为： (1−8−990−1−11−1910−10−178−8)\begin{pmatrix} 1 & -8 & -9 & 9 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 9 & 10 & -10 \\ -1 & 7 & 8 & -8 \end{pmatrix} .

强化难度，建议用时10-20min.

22. (12分) 设某元件寿命服从指数分布，均值 θ\theta 未知。取n个做试验，直到出现k(1≤k≤n)个元件失效时停止。

(1)若k=1，失效元件寿命记为 TT . (i) TT 的概率密度;(ii)设 θ^=aT\hat{\theta}=aT 是 θ\theta 的无偏估计，求 a.a.

(2)已知k个失效元件寿命值分别为 t1,t2,⋯,tk,t_1, t_2, \cdots, t_k, 似然函数为 L(θ)=1θke−1θ[∑i=1kti+(n−k)tk]L(\theta)= \frac{1}{\theta^k} e^{-\frac{1}{\theta}[\sum\limits_{i=1}^kt_i+(n-k)t_k]} ,

求 θ\theta 的最大似然估计值。

本题是一道概率的应用题，主要是要弄清所要研究的量的具体概率含义——这在考场上也是有一定难度的。

比如第(1)k=1时 T表示的其实就是n个元件寿命的最小值，这是关键——之后我们就知道如何求最小值分布——以及后面的无偏估计求参数难度也不算大。

答案分别为： 其他fT(t)={nθe−nθt,t>00,其他f_T(t)=\begin{cases} \frac{n}{\theta}e^{-\frac{n}{\theta}t}, & t>0 \\ 0, & 其他 \end{cases} ， a=n,D(θ^)=θ2.a=n, D(\hat{\theta})=\theta^2.

第(2)问的似然函数题目已经给出(具体不容易计算)，我们直接用最大似然估计法就行了。

答案为： θ^=1k[∑i=1kti+(n−k)tk]\hat{\theta}= \frac{1}{k}[\sum\limits_{i=1}^kt_i + (n-k)t_k] .

考场上本题属于难一点的强化难度，可以算得上是这份试卷的压轴题了。建议用时15min以上。

四、如何评价

总的来说，这份试卷可以说比前几年更加重视基础，那些重要的考点依然还是重要的考点。

按所谓题目难度来分的话，纯粹基础难度，考场上要稳稳拿分的题目有1, 5, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 16, 17题，共55分，这个比例是非常高的——所以本年度题目确实是难度不大。

基础/强化难度，需要有针对性的强化训练能够完成的题目有2, 4, 6, 9, 10, 15, 18, 19, 20, 21 题，共78分，和往年题目一样，这种检验考生有没有认真复习的题目仍然占据着最大的比例。并且这些题目的计算量普遍都不大，这是另外一个有利因素。

所谓有一定难度的题目，理论上就是选择题的第3题以及最后一道概率的题目，这个有17分，略低于近几年的平均水平。

当然不同的考生对题目的感知力是不一样的额，比如这两天就有同学跟我说第21题的线性代数耗费了半小时还是没做出来，那这道题对他来说就是如假包换的难题了。

还有比如第20题，两问的证明都不难，但如果没有正确使用定积分的那个常见形式，在证明中就会走不小的弯路。

所以总的来说——题目不难肯定没有任何问题，但要说分数能有多高，未必见得。

以上便是对如何评价2026考研数学一难度相关内容的一些盘点与梳理。希望这篇文章不仅能解答你当下的疑惑，更能为你的备考之路提供一份坚实的支撑与清晰的指引。感谢各位同学的阅读，启航教育将持续伴你前行。祝愿大家复习高效，笔下有神，在最终的考场上绽放光芒，成功圆梦!