考前备考必备知识--连续函数介值定理的四种情形分析(一)

在考研数学中, 关于连续函数在闭区间上的性质有 4 个经常用到的定理, 它们分别是: 最 值定理, 有界性定理, 零点定理, 介值定理。其中关于连续函数的介值定理, 在很多高等数学 教材和考研复习资料上虽然都做了说明, 但都不是很完整, 导致很多学生在做这方面的习题时 产生混乱, 为了帮助广大考生完整透彻地理解介值定理, 启航考研数学辅导老师在这里向大家做一个完整的阐述, 供各位考生参考。

连续函数的介值定理按不同的条件和使用方法, 可以分为4种情况, 分别是:(m,M)上的介值定理, [m，M]上的介值定理, (f(a),f(b))上的介值定理, [f(a),f(b)]上的介值定理, 其中m,M分别为函数f(x)在闭区间[a,b]上的最小值和最大值, 此处假设f(a)f(b)， 则相应地将区间改为(f(b),f(a))和[f(b),f(a)]。下面分别对这 4 种情况进行阐述。

定理一:

(m,M)上的介值定理. 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,m,M分别为函数f(x)在闭区间[a,b]上的最小值和最大值, 则, 使得

证明: 根据连续函数的最值定理得,, 使f(x1)=m,f(x2)=M，, 不妨设x1 φ(x1)=m-C<0,φ(x2)=M-C>0,φ(x1)φ(x2)<0,由零点定理可得, 使得, 即。