考前备考必备知识--连续函数介值定理的四种情形分析(二)

定理二: [m，M]上的介值定理. 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,m,M分别为函数f(x)在闭区间[a,b]上的最小值和最大值, 则, 使得f(ξ)=C

证明: 若C∈[m,M], 则由定理一知结论成立。若C=m, 则根据连续函数的最值定理得, 使f(ξ)=m=C; 对于C=M的情况, 同理可知结论成立。

定理三:(f(a),f(b))上的介值定理. 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续, 若f(a) , 则, 使得f(ξ)=C; 若f(a)>f(b), 则, 使得f(ξ)=C。

证 明: 只证第一种情况即可。令φ(x)=f(x)-C, 则φ(a)=f(a)-C<0,φ(b)=f(b)-C>0,φ(a)φ(b)<0, 由零点定理可得,使得φ(ξ)=f(ξ)-C=0, 即f(ξ)=C

定理四:[f(a),f(b)]上的介值定理. 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续, 若f(a)≤f(b), 则, 使得f(ξ)=C; 若f(a)≥f(b), 则, 使得f(ξ)=C

证明: 只证第一种情况即可。若C∈(f(a),f(b)), 则由定理三得知结论成立。若C=f(a)或C=f(b), 则取ξ=a或ξ=b即可。

上面就是考研数学中关于连续函数的介值定理的四种情形的完整分析, 供2023考研的同学们参考借鉴。在以后的时间里, 启航考研数学辅导老师还会陆续向考生们介绍考研数学中其它知识点和考点的分析, 希望各位考生留意查看。最后预祝各位学子在 2023考研中取得佳绩。