佛山科学技术学院数学与大数据学院高等代数2023年硕士研究生招生考试大纲

佛山科学技术学院 2023 年硕士研究生招生考试大纲

科目名称：高等代数

一、考查目标

高等代数是大学数学系本科学生的最基本课程之一，它的主要内容包括多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、欧几里得空间、双线性函数。要求考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，掌握高等代数的基本思想和方法。

二、考试形式与试卷结构

考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟，其中简答题(40 分)，计算与解答题 (60 分)，证明题(50 分)。

三、考查范围

(一)多项式

1.一元多项式的因式、带余除法公式及互素的概念及判别;

2.复根存在定理;

3.根与系数关系;

(二)行列式

1.行列式的置换、对换、置换奇偶性;

2.行列式的定义，基本性质及计算;

3.范德蒙得行列式;

4.行列式的代数余子式。

(三)矩阵

1.矩阵基本运算、分块矩阵运算;

2.初等矩阵、初等变换和矩阵的秩;

3.矩阵的逆、伴随阵、线性方程组的矩阵形式;

4.行列式乘积定理;

5.矩阵和转置

6.对角阵、三角阵、三对角阵;

7.矩阵的迹、方阵多项式;

(四)线性方程组求解

1.线性方程组有解的充分必要条件;

2.消元法;

(五)线性空间和线性变换;

1.向量的线性相关和线性无关;

2.线性空间的定义及性质;

3.向量组的秩、线性空间的基及坐标;

4.线性变换的矩阵表示;

5.矩阵相似;

6.不变子空间;

7.子空间的直接和、维数公式;

8.线性空间的同构。

(六)特征值和特征向量

1.特征值和特征多项式;

2.特征向量、特征子空间、度数和重数;

(七)内积空间

1.欧几里得空间的标准正交基，施密特正交化;

2.正交变换及其矩阵表示;

(八)二次型和对称矩阵

1.二次型及其标准形、惯性定理;

2.实对称矩阵正定的充分必要条件;

四、掌握重点

(一)行列式乘积定理及其应用

(二)分块矩阵运算及其应用

(三)矩阵三角分解及其应用

(四)矩阵的秩及其应用

(五)线性空间的概念及性质

(六)线性变换下的不变子空间及其矩阵表示

(七)二次型的标准形

(八)实对称矩阵及其性质

参考书目：

[1] 北京大学数学系前代数小组，王萼芳，石生明编,《高等代数》(第五版)，高等教育出版社.

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