2019考研:经济学每日一练2017.11.17
【每日一练】
设某消费者的效用函数为柯布-道格拉斯类型的,即

,商品

和商品

的价格分别为

和

,消费者的收入为

,

和

为常数,且

。
(1)求该消费者关于商品

和

的需求函数。
(2)证明当商品

和

的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时,消费者对两商品的需求关系维持不变。
(3)证明消费者效用函数中的参数

和

分别为商品

和商品

的消费支出占消费者收入的份额。
【考察点】
本题考查的是常用的效用函数——柯布-道格拉斯型效用函数的相关问题。
【解析】
(1)由消费者的效用函数

,可得:

消费者的预算约束方程为

①
根据消费者效用最大化条件:

②
得:

③
解方程组③,可得:

④

⑤
关系式④和⑤即为消费者关于商品

和商品

的需求函数。
(2)当商品

和

的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时,相当于消费者的预算线变为:

⑥
其中

为一个非零常数。
此时消费者效用最大化的均衡条件变为:

⑦
由于

,故方程组⑦化为:

⑧
显然,方程组⑧就是方程组③,故其解就是式④和式⑤。
这表明,消费者在这种情况下对两种商品的需求关系维持不变。
(3)由消费者的需求函数④和⑤,可得:

⑨

⑩
关系式⑨的右边正是商品

的消费支出占消费者收入的份额。关系式⑩的右边正是商品

的消费支出占消费者收入的份额,故结论被证实。
【点评】
柯布-道格拉斯型效用函数是效用函数中常见的函数之一,切忌与柯布-道格拉斯生产函数混淆。题目所得结论也可在选择题中直接利用。
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