2023考研党注意！ 要重视无穷级数在数学分析中的地位

一提起数学分析的主要内容，大多数人头脑中所想到的就是极限，连续，微分，积分。但是，有一块内容常常不被大家所重视，就是无穷级数理论。无穷级数理论因为与微分和积分的关系不大，内容具有相对独立性，所以往往显得有点格格不入，也经常被大家所忽略。但事实上，无穷级数是整个微积分体系中密不可分的一部分，在考研备考中要引起绝对的重视。

首先从历史上看，无穷级数理论的产生，要比严格的微积分理论的产生时间要更早。在极限的严格定义提出之前，数学家们就已经在非常熟练地使用无穷级数了，尽管那个时候并不严谨。比如欧拉曾经利用sinx的无穷级数展开式，成功得到了所有自然数倒数平方和的结果。

其次在考研命题中，无穷级数通常与其他内容结合在一起进行出题。最典型的问题就是利用各初等函数的麦克劳林展开式来计算非常复杂的不定式极限，需要考生不仅要将各种初等函数的麦克劳林展开式记忆得准确且熟练，并且还要深刻理解他们各自的适用范围和运算规则。以及利用泰勒级数来进行等式或不等式的证明。这些都是考试中的难点，自然也是复习的重点。除此之外，无穷级数理论也会和微分与积分联系在一起，出一些更为综合性的题目，这对考生的要求就更高了。

最后，无穷级数理论还与一些后续学科有着密切的联系，比如泛函分析中的希尔伯特空间，如果是无穷维的，那么在研究问题的时候，就不得不使用无穷级数理论了。而无穷维希尔伯特空间才是希尔伯特空间理论提出真正的价值之所在。这也就凸显了无穷级数理论在整个数学体系中的重要地位。因此深刻理解无穷级数理论，对学习数学的意义是非常重大的。在复试时会涉及到一些后续的专业课的考察，因此仅就考试而言，无穷级数理论也是需要引起大家足够的重视的。