2021考研数学:高数牢记定理(三)

2020-06-09

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高等数学是考研数学中比较重要的部分,想要拿分,必须把一些定理记牢和运用。为此,启航考研小编整理了2021考研数学高数的定理,希望对大家有所帮助。

中值定理与导数的应用

1、定理(罗尔定理)

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数值相等,即f(a)=f(b),那么在开区间(a,b)内至少有一点&xi(a

2、定理(拉格朗日中值定理)

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那么在开区间(a,b)内至少有一点&xi(a

3、定理(柯西中值定理)

如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且F’(x)在(a,b)内的每一点处均不为零,那么在开区间(a,b)内至少有一点&xi,使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(&xi)/F’(&xi)成立。

4、洛达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、&infin/&infin、0×&infin、&infin-&infin、00、1&infin、&infin0等形式。

5、函数单调性的判定法

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那么:(1)如果在(a,b)内f’(x)>0,那么函数f(x)在[a,b]上单调增加(2)如果在(a,b)内f’(x)

如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续,那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间,就能保证f’(x)在各个部分区间内保持固定符号,因而函数f(x)在每个部分区间上单调。

6、函数的极值

如果函数f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是(a,b)内的一个点,如果存在着点x0的一个去心邻域,对于这去心邻域内的任何点x,f(x)f(x0)均成立,就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。

在函数取得极值处,曲线上的切线是水平的,但曲线上有水平曲线的地方,函数不一定取得极值,即可导函数的极值点定是它的驻点(导数为0的点),但函数的驻点却不一定是极值点。

定理(函数取得极值的要条件)设函数f(x)在x0处可导,且在x0处取得极值,那么函数在x0的导数为零,即f’(x0)=0.定理(函数取得极值的第一种充分条件)设函数f(x)在x0一个邻域内可导,且f’(x0)=0,那么:(1)如果当x取x0左侧临近的值时,f’(x)恒为正当x去x0右侧临近的值时,f’(x)恒为负,那么函数f(x)在x0处取得极大值(2)如果当x取x0左侧临近的值时,f’(x)恒为负当x去x0右侧临近的值时,f’(x)恒为正,那么函数f(x)在x0处取得极小值(3)如果当x取x0左右两侧临近的值时,f’(x)恒为正或恒为负,那么函数f(x)在x0处没有极值。

定理(函数取得极值的第二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f’(x0)=0,f’’(x0)&ne0那么:(1)当f’’(x0)0时,函数f(x)在x0处取得极小值驻点有可能是极值点,不是驻点也有可能是极值点。

7、函数的凹凸性及其判定

设f(x)在区间Ix上连续,如果对任意两点x1,x2恒有f[(x1+x2)/2][f(x1)+f(x1)]/2,那么称f(x)在区间Ix上图形是凸的。

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么(1)若在(a,b)内f’’(x)>0,则f(x)在闭区间[a,b]上的图形是凹的(2)若在(a,b)内f’’(x)

判断曲线拐点(凹凸分界点)的步骤(1)求出f’’(x)(2)令f’’(x)=0,解出这方程在区间(a,b)内的实根(3)对于(2)中解出的每一个实根x0,检查f’’(x)在x0左右两侧邻近的符号,如果f’’(x)在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号,那么当两侧的符号相反时,点(x0,f(x0))是拐点,当两侧的符号相同时,点(x0,f(x0))不是拐点。

在做函数图形的时候,如果函数有间断点或导数不存在的点,这些点也要作为分点。

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