海南大学高等代数科目硕士研究生招生考试大纲及参考书目

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海南大学高等代数科目硕士研究生招生考试大纲及参考书目

一、 考察目标

要求考生熟练掌握高等代数的基本概念、基本理论和基本研究方法，要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力，考察学生综合运用所学知识分析问题与解决问题的能力。

二、 考试内容

第一章：多项式

1. 整除的性质，带余除法，辗转相除法，求最大公因式，多项式互素的基本性质;

2. 不可约多项式及其性质，因式分解及唯一性定理，确定整系数多项式有理根的范围;

3. 重因式的判别及求法，有理系数多项式根的方法;

4. 复系数与实系数多项式的因式分解定理，本原多项式及其性质，艾森斯坦(Eisenstein)判别法，多元多项式，对称多项式。

第二章：行列式

1. n阶行列式的定义和基本性质，行列式的计算方法，行列式的按一行(列)展开方法以及克拉默(Gramer)法则;

2. 范德蒙德行列式，拉普拉斯(Laplace)定理、行列式乘法法则。

第三章：线性方程组

1. n维向量的线性运算及线性方程组的求解方法。

2. 向量的线性相关性及向量线性相关性的判定;极大线性无关组及向量组秩的概念，极大线性无关组及向量组秩的求法。

3. 矩阵的秩，线性方程组有解判定定理，线性方程组的结构，二元高次方程组。

第四章：矩阵

1. 矩阵的基本运算，矩阵的初等变换，矩阵乘积的行列式及秩。

2. 一些特殊矩阵的性质，如单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、满秩矩阵、幂零矩阵、幂等矩阵、正交阵等。

3. 逆矩阵的概念及矩阵可逆的充要条件、矩阵的秩的概念、分块矩阵的概念及分块矩阵的运算，分块矩阵的初等变换。

第五章：二次型

1. 实二次型及其标准形、规范形的概念和计算，实二次型的秩，惯性定理及其应用，矩阵的合同;

2. 实二次型或实对称矩阵正定、半正定、负定、半负定的概念及判定条件和应用，用配方法和初等变换法化二次型为标准形;

3. 实二次型在合同变换下的规范形以及在正交变换下的特征值标准型的求法。

第六章：线性空间

1. 线性空间的定义、性质、维数、基与坐标，基变换与坐标变换;

2. 向量组线性相关或无关判断及应用，一些常见的子空间，如线性方程组的解空间，矩阵空间，多项式空间，函数空间等的性质;

3. 生成子空间，子空间的直和、维数，维数公式，线性子空间的定义、性质、维数及运算，线性空间的同构。

第七章：线性变换

1. 线性变换的定义、运算及线性变换的矩阵，同一个线性变换在不同基的矩阵之间的关系，相似矩阵的相关性质;

2. 线性变换及其矩阵的特征值和特征向量的概念和计算，特征子空间，哈密顿-凯莱(Hamilton-Caylay)定理;

3. 对角矩阵，特征值与特征向量的关系及相关性质，实对称矩阵的特征值和特征向量的性质;

4. 线性变换的不变子空间、核、值域的概念及关系和计算;

5. 矩阵的若尔当(Jordan)标准形存在唯一性定理的证明及其应用，最小多项式。

第八章：λ-矩阵

1. λ-矩阵的初等变换和标准形，λ-矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子及三种因子之间的关系;

2. 矩阵的若尔当(Jordan)标准形的理论推导，矩阵的有理标准形。

第九章：欧几里得空间

1. 内积和欧氏空间的定义及性质，如柯西-布尼亚科夫斯基不等式、三角不等式等，度量矩阵的概念及性质;

2. 欧氏空间的标准正交基概念及其求法和性质的证明与应用;

3. 欧氏空间的同构判别，同构的欧式空间的性质;

4. 正交变换及正交矩阵的一些等价条件，欧式空间的子空间概念及性质;

5. 对称变换的概念及其简单性质，实对称矩阵的标准形的求法，最小二乘法，酉空间，酉矩阵及酉相似变换，埃尔米特矩阵及埃尔米特二次型;

第十章：双线性函数与辛空间

1. 线性函数的概念及性质，对偶空间、对偶基的概念及性质;

2. 双线性函数的概念及性质，双线性函数在给定基下的度量矩阵，对称和反对称双线性函数;辛空间、辛同构的概念及性质，迷向子空间、拉格朗日子空间、辛子空间的概念和性质。

三、 考试形式

本试卷共十道大题，包括证明、解答等两种题型。满分为150分，考试时间3小时。

四、 参考书目

1.《高等代数(第五版)》，北京大学数学系前代数小组编，王萼芳 石生明修订，2019年5月，高等教育出版社.

五、 是否需要使用计算器

否

具体信息请考生关注院校官网等发布的官方消息。

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