考研数学冲刺专题之反常积分

考研数学冲刺专题之反常积分

反常积分的判别法是近年来新加的考点，因此对很多同学来说这块内容掌握得都比较薄弱，下面来系统地介绍一下这个专题。

首先需要掌握的就是反常积分的概念，需要按照类型进行掌握，反常积分从大的角度来讲分为两个大类，第1类反常积分和第二类反常积分。但实际上做题的角度而言有三个类别，除去单独的第1类和第2类之外，还有可能把二者结合起来。因此做题的第1步是先定类别。这种方法在很多其他的知识点也遇得到。比如在求解微分方程的时候，先要判定微分方程的类型，再比如在概率论中涉及到随机变量的问题，就要先判定一下随机变量的类型，到底是离散型还是连续型等等。

反常积分并不是积分，这是大部分同学容易忽略的一点，以为挂有积分二字就是积分了。但其实，反常积分的本质是一个极限，因此判定反常积分收敛与发散的最后一步是求极限而不是求积分。

判定反常积分收敛与发散最直接的办法就是定义法，即把极限求出来。但有的时候积分并不好积甚至无法积出，那么我们就需要使用反常积分的判别法了。

反常积分的判别法，整体上看有两类，一个是比较判别法，一个是比较判别法的极限形式，或者也叫极限比较判别法。这两种方法对于两类反常积分都是适用的。其中考题最多的一种类型就是极限比较判别法中的“同阶同敛散”，即寻找与题目中同阶的另外一个函数，通过它的反常积分的敛散性来判定原反常积分的敛散性。在这个意义下，判别反常积分的敛散性就划归为求无穷小或无穷大的阶的问题，这时可以使用的工具就非常多了，比如等价无穷小的代换，泰勒公式，洛必达法则等等。比较出阶之后判断其敛散性，就需要记住一些常用的结论，比如1/x^p这个函数在两种不同类型下反常积分的敛散性，大部分情况下都是以他作为标准进行判别的。

以上就是反常积分专题全部的知识点，再配合一些适当的真题例题，反复训练即可拿下。