23考研数学指导:数学分析中经常出现的“一致”是什么意思?

数学分析作为一门数学专业课，有一些非常深刻且难以理解的概念。除了极限的严格定义之外，同学们普遍反映难以理解的就是“一致”一个概念。今天就来简单的跟大家讲一讲“一致”究竟是什么意思。

数学分析中涉及到一致的主要是两个概念，一个是一致收敛，一个是一致连续，此外还有一个不太重要的叫做一致有界。

先说一下连续与一致连续的概念。二者说的都是区间性质。连续指的是对于给定的ε，那么对于每一个x，都存在一个δ邻域怎么怎么样。而这个δ是依赖于x的，对于同一个ε，x选的不一样，δ也不一样，因此每一个x都有属于自己的δ。换句话说，就是对某个x成立的δ，换个x就未必依然成立了。而一致连续说的是，对于给定的ε，存在一个相同的δ，使得对于区间内任意的x，取这一个相同的δ都是成立的，或者说某一个δ对所有的x都是成立的。因此这里的δ是不依赖x的。总结下来，普通的连续δ是依赖于ε和x的，而一致连续δ只依赖于ε，并不依赖于x。

而收敛与一致收敛的含义也在于此，对于给定的ε，那么对于每一个x，都存在一个N，使得当n>N时怎么怎么样。这里的N也是依赖于x的，每一个x都有属于自己的N。而一致收敛中，这里的N就不依赖于x了，而是有一个统一的N，对所有的x都成立。于是原本依赖于ε和x两个变量的的N，在一致收敛里面就只一赖于一个ε了，跟上面一致连续的思想是一样的。

所以现在就可以看出来“一致”究竟是什么意思了：在极限过程中邻域的选取往往需要依赖于多个变量，但如果对其中某一个变量不再依赖时，就可以说该性质对这个变量“一致成立”。

一致连续与一致收敛是数学分析中独有的两个概念，是区分专业数学与非专业数学的重要标志，深刻的理解这一类概念，对理解数学分析的严谨思维模式是有很大帮助的。