线性代数考研重点分析之线性方程组

从近些年考研真题中分析可以得到，在线性代数部分，重点为线性方程组以及矩阵性质中特征值等的计算。接下来我们就线性方程组进行简单的分析。

线性代数的入门学习就是：线性方程组。我们可以把线性方程组看作是线性代数的一个基石，我们是通过研究线性方程组来建立的线性代数这门学科。线性方程组的求解可以分为齐次线性方程组与非齐次线性方程组，其中每类中都有具体线性方程组求解和抽象线性方程组求解之分。方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。

关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：(1)、方程组是否有解，即解的存在性问题;(2)、方程组如何求解，有多少个解;(3)、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。

高斯消元法是求解线性方程组的最基本也是最直接的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：(1)、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去;(2)、交换某两个方程的位置;(3)、用某个常数k乘以某个方程。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。任意的线性方程组我们都可以通过高斯消元法来化解成为阶梯形方程组。通过阶梯形方程组我们可以直观的判断线性方程组解的情况。

通过矩阵表示出线性方程组，对该矩阵(如果是非齐次线性方程组，则是对其的增广矩阵)做相应的初等变化，我们可以将其化解为阶梯形矩阵，同样我们可以直观的得到其解的情况。

在判断线性方程组解的情况时，齐次线性方程组，我们只关心解的唯一性，以及不唯一情况下如何表示出所有解;非齐次线性方程组，我们首先要进行判断解是否存在，之后是唯一性，以及通解的表示。

对于齐次而言，判断唯一性的根本是通过r(A)与n之间的关系，如果r(A)=n 则该线性方程组的解唯一;当r(A)

对于非齐次线性方程组而言，当系数矩阵的秩与增广矩阵秩不相等时，无解;当两者相等且等于n时，有唯一解;当两者相等且小于n时，有无穷多的解。

再讨论过线性方程组解的情况后，我们接下来讨论，在线性方程组有无穷多解的情况下，如何表示这些解，也就是其通解的情况。

对于齐次线性方程组，当有s个向量都是其解，本身线性无关，且齐次线性方程组的任何一个解都能由这s个向量线性表出时，我们就称其为该齐次线性方程组的基础解析，同时该齐次线性方程组的通解可以由这s个向量的线性组合表示。

对于非齐次线性方程组而言，他的通解是由特解和基础解系构成，其中基础解系即为其对应的齐次线性方程组的基础解系。特解是符合非齐次线性方程组的一个解。通解可以表示为，特解与基础解系线性组合的和。

通过以上的讨论，我们大致对线性方程组的模块有了基本的了解，在之后的日子，我们还会对该部分有详细针对性更强的讲解。同时也提醒考生，该部分理解起来较为容易，但是每年都有同学在该部分丢分，究其原因是因为计算能力不足。所以在学习该模块时要勤于练习，强化自己的计算能力，不单单是能够解答正确，而且要求短时间内能够解答正确。