刘坤林：2005年数学试题评价

刘坤林:从2005年的数学考试来讲，四个试卷的总体难度应该说比04年来得容易一点。2004年是从2001年以后，在那个几年里面，应该说是最容易的一年，今年又比2001年又容易一点。容易的特点是反应了数学有关知识点和内容的最基本的一些知识点。当然在数学试卷一、二、三、四里面也各有两道难度比较大的题目。比如一里面的曲线积分，有一点难度但是也不是非常难。试卷二里也有一些难度大的题目，但是也不是特别难。

但是总体来讲，这个难度比较符合我们在水木艾迪教学里面，在强调基本知识点理解到位的前提下，做一点综合的练习、综合的训练，就应该很容易上这个考场。

下面我想抽一点时间，给大家说一下今年考试有关题目的一些具体特点，因为数学考试在不同的知识点上，在每个点里面，会有这种轮换性，所以我们不妨对考生，也提出我们的建议，也就是说，2006年考试的时候应该注意什么问题。

我先说一下微积分里面的情况，前面一些基本的小题，应该说是相当基本。比如说第一个是涉及到简单的基线运算，这个题相对比较容易，明年关于这个方面，大家应该转向对于极致点和拐点上。第二题涉及方程，应该说这样的题目可以在最多两分钟之内做出来的。第二个小题，明年知识的轮换性，大家要注意7次方程以及二阶线形方程的算法。

第三个小题方向导数，这个应该是基本的计算题，我想明年大家应该注意到，它可能会转向多元函数里的三度，另外我还想提醒，因为今年没有涉及到几何运用方面的题目，而几何运用方面的题目，是每年的考点。

　　所以我们06年的考研要注意函数在切线方程等方程里的应用。我想再说一下第四个是一个简单的高数公式的应用，涉及到第二曲面积分。这个又涉及到三成积分的计算。对于这个问题来讲，我想明年大家应该注意曲线积分和曲面积分，要注意这两类系的互相转换。

第7个问题，是属于函参积分的问题，用函参极限定义了一个函数，我想这样的问题大家要注意，含有参数的问题在最近几年的考试里面，一个积分可以含有参数，一个基线可以含有参数。含有参数的题目，提醒考生一定要注意，在教材里，比如说考研导语与进介，关于这样的方法都有例题说明。

还有一个是关于原函数的基本性质，就是第8题，原函数的基本属性和它的基本结论是非常明确的，挂出的资料会给大家看。原函数的有些结论是应该大家能够记下来的，而且每一条都能够证明，所以水木艾迪的辅导班的学员在这个问题上是没有问题的。

数学考试，这里面都有非常多的基本的知识点，不是每年都考这些知识点，所以考点具有一种轮换性和周期性。这个大家可以做一些参考，比如说根据前年、去年、今年的考试，我下面想给考生提一些建议。用积分求基线这个问题去年没有考，今年大家一定要注意。相应的方法可以在我们所编的若干教材里，比如说《考研教材导引与进介》等。

　　还有一个就是不等式和等式的证明，希望大家特别给予关注，这个不等式和等式的证明里可能含有函数，这样的问题也可以在我们辅导班的教材里面，或者是清华大学出版社我们所编写的一些教材里都可以找到很有效的参考对象。还有一个今年的试卷一没有考付给基数，这个付给基数是每隔两年或者一年要考一次，所以我建议2006年的考生要注意。付给基数的重点是递克雷定理。

　　希望今年的考生要关注这样的问题。第四类问题，今年的数学试卷一，没有命题，同时微积分没有命题，试卷二也没有，我建议大家，今年的考生要注意，定积分的应用还有微积分方程的应用问题要特别关照。我所以要讲这个问题，我觉得因为我们对国家的考试因为那么多年的研究，搞了那么多教学，我们是能够把握这个问题的。

　　事实上我们可以比较保守地说，和我们在水木艾迪的教学当中，这个题目的覆盖率大于85％到95％之间，这个是毫不夸张的。还有一个年年不变的考点，但是基本上做到年年要考。第一个函数的概念问题，很多同学数学没有弄好是函数的概念没有搞清楚，函数的表达没有搞清楚。第二个问题就是基线概念，还有基线的运算法则。第三类问题是运函数和积分的运算。

　　第四类是定积分与导数相结合的一些函数的分析，如果是命题的话，一定是大块的题目，其中包括等式和不等式的证明，第五类问题是两类曲线积分和两类曲面积分的相互转换和表达。第六类是积分的表达和互换。

　　另外还有多元函数微分概念、偏导数等等概念，比一元函数的概念来得复杂一些。希望考生要进行梳理这个问题。因为这个问题你只要梳理清楚，把它搞清楚了，面对考题，有可能你30秒就能拿到，你如果糊涂的话，你可能30分钟甚至50分钟都没有拿到。第8个问题，梯度问题今年基本上没考。但是有一个问题试卷一前面的第二个问题涉及到了。

我想三度的问题有的时候考梯度，考的不一样希望大家注意。 第二个问题就是多元函数，今年试卷一和二基本上没考。但是试卷四考了，对试卷一的考生来讲，今年要注意这个问题。第十类问题就是和平定理。第十一个问题就是关于函数的对称性，在积分里面可以用，关于这个问题，实际上是函数的概念和积分的概念交叉在一起，你要懂得利用这个对称性。希望大家关照这几个问题。

俞正光:就2005年线性代数这个考题来说，还是反应了一个是基本性，另外一个综合性它还是强调基本概念。另外由于这个考题的覆盖面比较光，所以又综合了。最后是考察了我们的分析能力。

线性代数的问题非常基本，第二个它是很综合的，比如第一个小题就是计算一个行列式，多数考生会用行列式的性质可以把这个题目做出来了。我们用据证之间的关系来做这个题就更简单一些。第二题就是与线性无关的题，就是关于特征值的问题，我们讨论相关性的基本问题是很容易做出来的。第三题涉及到基本变换以及举证的问题，这个题如果概念很清晰的话，也不难。当然有些考生也会不知道该怎么去考虑这个问题。

后面两个大题，一个是二次形的题，第二部分是关于求证据证证交变换。最后当然稍微有一点灵活。这里一种基本方法就是用一下配方法来做。最后一个实际上是方程组的问题，这里涉及到一个条件，就是AB等于零的条件，从这个条件，我们可以看到A跟B之间的关系。

另外一个我们也再三强调了一条，就是零的内向量，如果你能熟练运用的话，这个题也不难。当然也涉及到讨论，在方程组的问题里有好多问题要讨论，这种能力也需要我们进一步学习。所以我们的考题基本上是在04年基础上的一种延续。所以它的一些重点的部分和它的一些要注意到的技巧基本上都是我们在辅导班上再三给大家强调过。如果大家很好地把这些掌握，能够把基本概念掌握，一些基本方法也会的话，再加上细致一点，线形代数这部分应该不是很难。

　　葛余博:正如我们原来所估计的。05年的考题应该是基本。但是也注意了综合性。所以从概率的五个考题来看，确实体现了这个方面。都是最基本的一些要求，都是一些重要的东西，但是这些必须要熟练。在这种情况下，很重要的一点，你基本概念要抓得牢，第二个计算要注意准确，很多人得分不高，原因也在于此，很多人都知道，确实方法也对，但是分拿得不够高。要注意计算的正确性。

　 从第一套概率来看，为什么说它是最基本的，我们回想一下这些题。第一题是用全概率公式，一般是第一章，这种题哪一个辅导班哪一个教材都会侧重的。问题是你在做的时候，能否很快地切入抓住，这就是全概率的问题。水木艾迪这个考研班讲的就是这些公式，这些公式怎么入、它的差别问题，如何快速地切入到这个问题。

　　再后面是分布，一个是离散的，一个是连续的，离散的分布也确实是最基本的，作为分布，二为的分布，所以PIG，对于IG的求和应该是1，编辑分布和联合分布之间的关系和性质。

　　再一个是独立性，这些都是基本的，但是它把它放在一个题里。基本概念和知识需要熟练掌握，独立性也是非常重要的概念。就像我们以前在历次考研班，包括最后的冲刺班到最后大声疾呼，就是说不考独立性的考试，几乎不是考研考试。在这个题里就需要你综合把这几个概念，都给它做出来。利用这样去求解，我们后面在网上挂出来你可以看到我们在投资班上，在导引和进介那个书里面都有接近这种题。

　　连续性的也是最基本的，一个二维的连续密度给出来，然后要求编辑密度，这是最基本的计算，概率要清楚，这里面的二维它给的密度，应该从给出的表达式，立马就能发现它的两个变量不是独立的，我们在班上也注意讲这样的公式，求编辑分布、求这个方法，都是一般正常的方法。

　　但是这里容易出错的就是求分布里面积分计算，求编辑密度时的积分计算，这个计算恐怕有很多人没有算得对，特别在我们现在强调基本知识、基本概念，注重它综合，在这种情况下，我们尤其要强调计算的正确性。你看着会，一写也有那个意思，但是一算就错，最后你的分值就不高，在这种情况下，考研是一个竞争，是一个挑选，所以一来，你就会处于一个劣势。

　　所以在06年的考试里面，希望大家注意。我们几个老师的分析里来看，06年的考试不会有很难的题，难度不会相差很大。有一个题，可能大家稍微错的多一点，由于正态分布，大X1减去大X1－，就是大X8，算出平均值，独立正态分布，它的线性和仍然是正态，这个题要求它的方差，还要求写方差。这种题最关键的是什么，考点很清楚，正态分布的一些性质，剩下来就是期望方差的公式。

　　重要一点、观点一点就是能够看到大X1跟大X算术的平均值，也就是大X－不是独立的，我们这个班在冲刺班，也包括12月我们4个学校鼓吹了几个题。我们鼓吹8个题，但是8个题不是都讲，重点有5个，这就是其中之一。

所以今年最后23题就是我们的原题，也是我们去各校宣讲讲的原题。为什么讲呢？因为正态分布的独立性，正态分布是天下最重要的分布，而独立性是数学里面只有概率论所特有的。这两方面都体现出来了。所以我们认为这个题是很重要的。因此奉献给大家。

 

　　2005年高等数学试题点评

刘坤林说:高等数学部分因为在整个试卷里面占的分量比较大，所以下面我想挑出几个问题，给大家做一点分析和我的建议，供大家参考。事实上，我刚才讲到前面8个小题了。比如10.1第9题，一个二元函数求它的偏导数。

这样的问题就涉及到一元积分里面的变相求导放在二元函数里来，这样的题目今年考了，这个题目本身没有太大的难度，对于明年来讲，请大家要多注意，多元函数的可归性。还有一个点，我们在水木艾迪模拟试题里面，涉及到今年的第10个考题，这是我们今年大纲新增加的一个题目。

　　明年的考试希望大家还要特别注意，实际上我们平时大家可能不太注意，实际上它理论上并不是十分复杂的一个问题，要大家记住的是，那个导数必须存在，那个导数往往表现出分子比分母的分式，就是分母不能为零。比如说XY是一个二元函数的隐函数，要求隐函数的分母部分不能为零。凡是听过我们的讲座或者辅导班的学员，这个题应该在20秒内就能拿到分。还有一个就是第15题是综合解答题，在微积分里面，这个题目对广大考生可能有难度，但是实质来讲，并没有很大难度。

　　函数类型在复习的时候，除了初等函数以外，还有很多非初等函数。比如说X等于1.1的时候，X要加一个方括号，要不超过那个整数部分，这个问题也是今年我们最后冲刺班上的一个试点，当时我们给了一个练习题目，也是取整函数实际上是可以用表达函数表达出来的。

　　15题是一个二元积分，难在难在这一点，如果你一旦知道了这个知识点，此题再做下去没有任何难度。这个题除了常见的初等函数需要知道以外，常见的非初等函数还要知道，都要复习到。特别是取整函数是常用的一类函数。

　　大家要注意取整函数很重要，下面试卷一有16题，这个题是基数求和，是数学试卷一跟数三年年的考点，今年的基数求和并没有太大的难度，你要熟悉那个五类展开式的基本结论，这个题只要积分算就可以很轻松达到这个结果，所以这个题并没有难度，但是积分求和和基数求和是年年的考点。

　　第17题还有抽象基数的函数问题，在积分式里，不管是二重积分还是什么，我们要提醒大家一定要注意想到分布积分，今年的题目就是这样的。所以我希望大家注意，在积分里面分布积分对某几类函数来讲是非常有效的，有时候甚至是只有此路一条的方法。所以大家要注意，你一定要想到分布积分。

　　第18题里面是中直定理的运用，两个小问，第一个小问是第二个小问的台阶，你只要迈上那个台阶。中直定理是重视等式而不是不等式。实际上等式证明也好，不正式证明也好，一个最好的办法就是立即造一个函数。对于等式来讲要用导数来找那个等式是不是存在。所以我建议大家，今年2006年的考研，希望大家要关注等式和不等式的证明，我刚才讲的方法是非常有效的的方法。概括起来，就是造函数，然后去研究增减性，然后去考虑初值和端值。

　　这是非常有效的方法。还有一个点，就是当你找到了一个函数的零点，或者驻点的时候，对后期的问题，对这个点，要把已经知道的那个区间分割成两个区间，然后再分别讨论问题，然后的问题就可以解决。

　　19题，应该是今年微积分里面的一个重号题目，也是两个问，主要涉及到积分运用的情况，大家应该知道，今年的考题就是这个难点。这个题目和我们在强化班里面讲课讲的例题极为相似，只有少数的参数的变化。

　　我是看到搜狐网上公布的数学试卷二的参考答案里，数学试卷二是没有任何的具体表达，根号X，是第一象限的内部区域，在这个区域里做成这个积分，实际上这个题目，在新浪网上公布的解答里面，这个解答是有一些毛病，它的答案是对的。

　　但是它的解答里面，用到了二重积分的变量替换，是国家考研大纲不要求，而且在正规的本科教学里面根本不讲，这样的解法会有错误的引导，实际上做这样的题解的老师我认为他是没有体会国家命题的考点在哪儿。这个题的考点是考路换对称性，这个题最简单的解只需要30秒。

　　实际上把背题式里X和Y位置对换，这个值不变，原来那个积分的两倍就可以写成原来的积分加上两个积分的和，分子分母约掉以后，背积函数是1，积分区域是1/4。我觉得这个题设计得非常新颖，而且考的质量非常高。如果按照新浪网上的解答，那个题就超过了国家的大纲要求。所以这个题容易给大家误导。我写的解答说明，明天要挂在搜狐网上，供大家参考。

    2005年概率统计试题点评

　　葛余博:补充一个统计的，正太总体的几个常用的样本函数，包括二为的两个正太统计的，总共涉及7个常用的样本函数，这几个函数必须要熟练掌握，因为它是后面区间检验的理论依据和出发点。所以你看到它的份量，它这次考了，确实考了最重要最基本的题目。

　　这些题你能否得分就不一定了，你看它考得很细，A、B、C，其中都有一个常数A，但是那个常数A是错的，应该是A的，它是A减1，应该是A减1的，它是A。D的选择是一个叫做典型模式，按大纲的说法，这个题跟我们在考研冲刺班里讲的其中一题也是完全一样的。而我们写的是一般的正太总体那个题完全一样。

　　综合这些概率考的这些题来看，它考的确实是最基本的题，但是要注意综合熟练掌握，要不含糊。另外重要的一些部分，要学会综合，要学会快速判断和注意它容易出错的地方。

　　2006年考研数学复习书籍推荐

　　刘坤林:我觉得考研的书籍确实很多，但是大家在选的时候要注意几点，第一点应该看它是否是国家一类出版社的书，第二要了解一下这个书本身的作者，是否长期在这个领域进行教学，有丰富的教学经验。第三不要去追求那些有大量的商业炒作广告的书。那个书，其实年轻人有一个习惯，你越宣传，我越不买。

　　我这里给大家推荐两套或者三套，其中一套就是我们清华几个老师，在最近几年编的，叫做《考研数学导引与进介??考研数学通用教材》，编者就是我们几位数学老师。还有一个是《大学数学概念方法与技巧》，这本书今年也要再版，可能要增加一些模拟的练习题。这两书都是清华大学出版社出的书。另外你要从基础入门的话，对于每一个考生来讲，你在复习的时候，我觉得应该把你上大学时候用的教科书再加上这个，因为尽管那个书有可能不够，但是你学过的书，你熟悉有感情。

　　现在数学课程里面，考研的时候，觉得这个题目比较难，实际上不是考的题目很难。事实上在全国各地的大学数学教学里面和国家的大纲相差太大。正是这样的情况，我们也屡屡向国家命题老师建议，就是希望把考题考的基本一点。

　　俞正光:刚才刘老师介绍的两套书各有特点，一套书针对我们考生的一些问题，通过这套书来跟考生交流，用提问和解答的形式把考生经常遇到的一些问题，我们做了解答。大学数学这本书相对来说更讲究一些技巧性，更讲究一些针对考研题的一些解法分析和思路。

　　刚才刘老师也谈到了，我们当前大学教学里，确实有许多薄弱环节，这些环节造成我们考生对考试试题觉得比较困难。我们具体来分析一下，这几年的考题确实还是非常基本的。如果我们能够把本科教学能够很好的学好的话，再参加一定辅导班的复习，还是能够提高很多的。

　　比如线性代数里，以前也考过的题，就是考到一个初等变换加上办学举证，这些都是我们以前的薄弱环节。线性代数也是一个概念和方法，这种方法在我们本科教学里，很多学校并没有引起足够的重视，也跟我们本科教学有关系。

　　所以方面不能进一步展开。当然它很重视概念和一般的方法，但是它的一个很大的特点，就是它可以把我们很多的概念和各种各样的思路可以通过符号运算来进行，但是这个恰恰是我们平时教学里比较薄弱的地方。就是你能够把一些概念，初等变换并不能做代数运算，要通过举证运算来进行。这些地方往往我们很薄弱。在教材里面这方面都很着重地有解释。就是对平时大家教学里面比较缺的东西我们都有补充。我想这两本教材会对大家有很大的帮助。

　　葛余博:06年的考试注重基本的知识，现在到06年还有一段时间，希望大家扎扎实实做好安排，从基本开始给它学扎实。因为看着时间很长，到后面，很多课都挤到一起了。

　　所以仍然感到时间不够用，我建议原来学过的教材，结合现在推荐的这两本，你选定一个把它学起来，要注意现在踏踏实实学起来，不要有知识空白，你考试虽然是基本，但是面是很宽的，比如说基线定理，很多人就说这次不会考吧，我说必须要准备，而且在我们重点准备的时候，就有这个题，不要有空白。现在时间早，06年考，你更好安排。

    第一轮考研数学复习提示

　　刘坤林:我先回答一下，我在网站上也看了，对我们事先提的几个问题，其中有一类问题，我线代是学经济的，我数学基础不行怎么办，我的建议你一定要把经济类的数学教材放在一边，找一本清华大学或者北京大学的或者上海交大的正规教材按照要求学一遍。因为数学三和四，虽然考生是考经济类或者管理类的专业，但是事实上，数三和数四并不考什么经济数学。如果老师宣传是经济类的，这个我认为是不对的，是误导。你一定不要拿经济类的参考书，那是没有用的。

　　每隔一年或者两年，可能会有一个题目，涉及到经济术语，这些经济术语是求什么商品的最大销售利润，或者怎么使什么的制造成本最低。这样的问题在理工科的题目里都是例题一样，所以归根结蒂还是要把握基本的要求，即使有术语的题目，理工科的同学一看就能看透了。在05年并没有考过这个术语。所以你把这个教材存起来作为纪念，然后找这个正规的教材去念。试卷二怎么准备呢？

　　事实上今年的考试里面，试卷二的题目有的都超过了试卷一，就是第19题，是一个积分的不等式的证明问题，我提醒大家不要觉得哪个容易哪个不容易，你一定要老老实实参照大纲的要求，我觉得参加一个春季的基础班比较重要。比如我们水木艾迪的基础班，老师引你上路，因为考研的味道跟你大学本科里学的基本上不是一样。

　　俞正光:如果是大三的学生，你准备的时间还比较充分，这样的话，恐怕还是有比较充分的时间来把一些过去学过的知识很好的整理一下，所以不是盲做。

　　当然可以按照考研的大纲要求，把过去学过的知识很好的整理，同时应该把一些自己知识上的缺陷，或者平时针对不同的学校教学里，不是很充分的地方可以很认真地去进行学习。当然刚才刘老师也说了，你基础班也行，或者你有能力的话，可以自己自学起来，当然不管怎么样，应该做很好的计划。另外数学毕竟最终还是要看你解题的真功夫，所以有必要的话，可以细水长流，每天可以做适当量的题目。线代复习不要留空白，第二个做题要做准确。