温州大学23研招自命题初试大纲--618数学分析(学硕)

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硕士研究生招生考试(初试)业务课考试大纲

考试科目： 数学分析 科目代码： 618

一、 参考书目(所列参考书目仅供参考，非考试科目指定用书)：

1. 《数学分析》(第五版)，华东师大数学系，高等教育出版社，2019

二、 考试形式

试卷满分： 150分 考试时间：180分钟

答题方式：闭卷、笔试

三、 考查范围：

第一部分 集合与函数

1、 集合

实数集 、有理数与无理数的调密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限复盖定理。平面上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界(无界)集、平面上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列等。

2、函数

函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理。初等函数以及与之相关的性质。

第二部分 极限与连续

数列极限

数列极限的定义，收敛数列的基本性质(极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质)

数列收敛的条件(Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系)，极限及其应用。

函数极限

各种类型的一元函数极限的定义( 、 语言 )，函数极限的基本性质(唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性)，归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限： 及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号о与O的意义。多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系。

函数的连续性

函数连续与间断的概念，一致连续性概念。连续函数的局部性质(局部有界性、保号性)，有界闭集上连续函数的性质(有界性、最值可达性、介值性、一致连续性)。

第三部分 微分学

1、一元函数微分学

(i)导数与微分

导数概念及其几何意义，可导与连续的关系，导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性。

(ii)微分学基本定理及其应用

Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理， Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项)及应用，函数单调性判别法，极值、最值、曲线凹凸性讨论。

2、多元函数微分学

(i)偏导数与全微分

偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式。

(ii) 隐函数定理与多元微分的应用

隐函数存在定理的应用，隐函数组存在定理的应用，隐函数(组)求导方法，反函数组与坐标变换。几何应用(平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线)。极值问题研究(必要条件与二元极值的充分条件)，条件极值与Lagrange乘数法的应用。

第四部分 积分学

一元函数积分学

(i)不定积分

原函数与不定积分概念、不定积分的基本计算方法(直接积分法、换元法、分部积分法等)。

(ii)定积分

定积分概念与几何意义 ，可积条件(必要条件、充要条件： )，可积函数类。定积分性质(关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理)

变上限积分函数，微积分基本定理，N-L公式及定积分计算，定积分第二中值定理应用。

(iii)广义积分

无限区间上的广义积分概念、Canchy收敛准则，绝对收敛与条件收敛。 非负时 的收敛性判别法(比较原则、柯西判别法)， Abel判别法，Dirichlet判别法。无界函数广义积分概念及其收敛性判别法。

(iv)定积分的应用

微元法思想。几何应用(平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积)，其他应用。

多元函数积分学

(i)重积分与含参量积分

二重积分概念及其几何意义，二重积分的计算(化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换)。三重积分概念，三重积分计算(化为累次积分、柱坐标、球坐标变换)。重积分的应用(体积、曲面面积、重心、转动惯量等)。含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性。含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性。

(ii) 曲线积分与曲面积分

第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算，第二型曲线积分概念、性质、计算。Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件。曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算。奥高公式、Stoke公式。两类线积分、两类面积分之间的关系。

第五部分 级数

1、数项级数

级数及其敛散性，级数的和，Canchy准则，收敛必要条件，收敛级数基本性质。正项级数收敛的充要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式。交错级数的Leibniz判别法。一般项级数的绝对收敛、条件收敛性 ，Abel判别法，Dirichlet判别法

2、函数项级数

函数列与函数项级数的一致性收敛性，Cauchy准则，一致收敛性判别法(M-判别法、Able Dirichlet判别法)。一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用。

幂级数

幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系。函数的幂级数展开。

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