2023考研数学:高数备考过程中是否需要掌握定理证明?

2022-08-01

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这个问题比较复杂,不能一概而论。总体来说能记住定理的证明过程当然好,有两点好处:一是通过记忆定理的证明过程加深对这个定理的理解,知道它的来源与用途。二是定理的证明过程中包含了一些常用的数学思想方法,因此记忆定理证明过程有助于提供更多的解题思路。

但是也不是所有的定理证明过程都需要记,针对高等数学而言,它是篇幅最大,内容最多,考研所占分值最高的一门科目,里面涉及到非常多的定义与定理。

分成如下两类:

1.不需要记证明过程的定理

不需要记证明过程的定理,指的就是涉及ε-δ语言的定理。

微积分是建立在极限这个概念基础之上的,在学习函数极限时,我们都学过它的严格定义,就是所谓的ε-δ定义。事实上,高等数学中的所有概念与定理都是建立在这个定义之上的。但是有的定理证明过程需要直接使用ε-δ这个符号,有的则是通过构造等方法不需要使用ε-δ。而ε-δ这套符号是专业数学才要求掌握的,考研数学中并没有要求,所以如果定理的过程中用到了ε-δ符号,则它的证明过程无需记忆。比如夹逼定理的证明。

ε-δ语言可以说是微积分里面最难的一部分内容之一,但是微积分的严密性也正是建立在这套基础之上的,所以如果你想深入了解微积分的本质,那么需要把这部分内容好好看看,但是只是为参加考试的话,这部分可以不用看,证明过程也无需记忆。

2.需要记忆证明过程的定理

除此之外,剩下的定理没有用到ε-δ符号,它都是利用已经定义好的概念往下进行推导,比如说最典型的就是拉格朗日中值定理,这个证明的过程中没有使用ε-δ语言,但是使用了罗尔中值定理和费马定理,但这两个定理前面已经证明过了。

而对于这类的定理,证明过程最好能够记住。因为从证明过程可以清晰的看出这个定理与前后知识点之间的联系,以及它本身的原理,为将来学习打下更好的基础,同时还能为解题提供一些思路。

甚至更功利地讲,考研真题中出现过直接让你证明定理,比如2009年数一的第18题,直接让你证明拉格朗日中值定理。所以可以看出,记忆这类定理的证明过程是非常必要的!

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