2023考研数学:泰勒公式的应用和注意事项

2022-08-01

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1,求极限,对于高阶的比试求极限,往往需要比较高阶的泰勒展开,这时所用的余项一般式佩亚诺余项。

而这个地方也就是同学们常见的错误点,就是对于要展开到的阶数的判断不足,要展开的阶数不是“出现即可”而是要“应有尽有”,应将所有的对应所求阶数的部分都表达出来。

2,求积分,对于一些具有特殊性质的函数的积分大小判断,往往可以使用泰勒展开来进行对积分的放缩,这里一般是一阶展开的拉格朗日的余项,这里的需要二阶导数有界,才能有效的进行放缩,不然无法对二阶导部分积分。

常见错误就是把二阶导当做一个常数来积分,从而导致出错。

3,求高阶导数,对于某一点的的高阶导数,可以用对应阶数的泰勒展开来求,一般是写出对应函数的泰勒展开,和泰勒展开的公式做对比,从而得到对应点高阶导数的值,而这一类题目,往往不需要考虑余项。

这里的常见错误在于,对于非固定点的导数,误用这种方法,从而导致错误。

4,验证中值定理,对于某些中值定理的问题,涉及到较高阶数的导数的情况(一般要二阶以上),往往可以考虑泰勒公式,在这里没有很一般的特性总结,但是常用的原则是在某一定点处展开,然后表示动点的过程中作差消去,这里一般是使用拉格朗日余项。

这里的常见错误在于,列出两个及以上的泰勒公式时,把两个展开式中的ζ当做同一个。

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