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甲与乙系好友。2021年1月15日，甲亲笔书写遗嘱一份，签名并注明日期。后甲觉得自己手写的遗嘱字迹潦草，遂找两位同事帮忙将该遗嘱内容打印出来并进行见证。甲和两位同事分别在打印遗嘱上签名并注明日期。打印遗嘱共三页，第一页载明将汽车遗赠给乙，第二页载明以唯一住房为乙设定居住权，第三页载明住房由儿子丙继承。立遗嘱后，甲将两份遗嘱都交给乙保管。
2021年5月15日，甲去世，丙系甲的唯一继承人，但不知道甲立有遗嘱。5月30日，丙将甲的汽车和房屋过户登记到自己名下。6月15日，乙得知甲去世，遂向丙表示接受遗赠，要求丙配合申请居住权登记。此时，丙发现打印遗嘱的第二页没有甲的签名，主张打印遗嘱无效，乙没有居住权。
请结合上述材料，回答下列问题并说明理由：
（1）甲的打印遗嘱是否有效？
（2）丙何时取得房屋所有权？
（3）乙是否有权申请办理居住权登记？
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