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湖南工商大学2026年考试大纲(学硕)- 数学分析
考试科目代码：706 考试科目名称：数学分析
适应专业：数学学术硕士
一、试卷结构
1) 试卷成绩及考试时间
本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
2)答题方式：闭卷、笔试。
3)试卷内容结构
华东师范大学数学系编的数学分析上、下册。
4)题型结构
a: 填空题，5小题，每小题4分，共20分;
b: 计算题，8小题，每小题13分，共104分;
c: 证明题，2小题，每小题13分，共26分。
二、考试内容与考试要求
1、极限论
考试内容
① 一元函数和多元函数极限的计算; ② 实数完备性定理的运用; ③ 连续函数特别是有界闭区间上连续函数性质的运用; ④ 极限定义的熟练掌握等;⑤ 掌握无穷大量与无穷小量，同阶和高(低)阶无穷大(小)量的意义，特别是等价无穷小量的意义。
考试要求
(1)熟练掌握极限的概念、极限运算、收敛数列的性质、两个重要极限的运用。
(2)能熟练利用六个实数基本定理尤其是单调有界收敛原理、致密性定理、确界原理、Cauchy收敛原理进行各种理论证明。
(3)能熟练掌握单变量连续函数特别是闭区间上连续函数的各种性质，并能利用这些性质进行计算和证明;熟练一致连续的概念，间断点的判断;掌握多变量连续函数的性质尤其是有界闭域上连续函数的性质，能利用这些性质进行计算和证明。
2、单变量微分学
考试内容
① 微分中值定理(包括Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理等)的灵活运用(包括单调性讨论、极值的求取、凸凹性问题、等式和不等式的证明等); ② 泰勒公式的灵活运用(包括用Lagrange余项形式证不等式、用Peano余项形式估计阶以及求极限等);③ 各种形式导数的计算; ④ 导数的定义和运用等。
考试要求
(1)熟练掌握微分中值定理，包括Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理的条件和结论，能熟练利用这些定理进行理论证明或计算，包括函数单调性讨论、极值的求取和应用、凸凹性问题的讨论、等式和不等式的证明等。
(2) 熟练掌握泰勒公式的条件和结论，并能做到灵活运用，尤其是利用Lagrange余项形式证不等式、Peano余项形式估计阶以及求极限等。
(3)熟练掌握复合函数导数的计算和高阶导数的计算。
(4)熟练掌握导数的定义和性质，能用逻辑语言进行理论证明，熟练掌握利用导数定义进行证明或计算。
3、单变量积分学
考试内容
① 各种不定积分和定积分的熟练计算，尤其是计算中的处理技巧; ② 广义积分的计算和敛散性判别; ③ 定积分的定义和性质的灵活运用等。
考试要求
(1)熟练计算各种不定积分、定积分，熟练掌握凑微分法、换元法、分部积分法以及常用的计算技巧，熟练掌握奇偶函数、周期函数的积分特点。
(2)熟练掌握广义积分的计算，熟练掌握区间无限型、函数无界型以及混合型广义积分的敛散性判别，并能进行理论证明。
(3)熟练掌握定积分的定义，能利用定积分的定义进行极限的计算;熟练掌握定积分的性质，并能利用这些性质进行理论证明以及变上限积分;熟练掌握定积分在几何中的应用。
4、级数论
考试内容
① 各种数项级数尤其是正项级数的敛散性判别;② 数项级数的性质
③ 函数列和函数项级数的一致收敛性判别，给定函数Fourier级数的展开和特殊点的收敛性;④函数列和函数项级数一致收敛性质的灵活运用 ;⑤幂级数的收敛性和展开等知识的熟练掌握。
考试要求
(1)熟练掌握正项级数和一般项级数敛散性的判别方法。
(2)掌握数项级数的一些常用性质，尤其是绝对收敛级数与条件收敛级数的常规性质。
(3)熟练掌握函数列和函数项级数一致收敛性的判别，尤其是用定义、优级数判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法判别函数项级数的一致收敛性，熟练掌握给定函数的Fourier展开，能给出Fourier级数在特殊点的收敛性。
(4)理解并熟练掌握函数列和函数项级数的一致收敛性与连续性、可微性、可积性的性质。
(5)理解并熟练幂级数的收敛半径、收敛域、和函数以及幂级数的展开。
5、多变量微分学和参变量积分
考试内容
① 可微的定义; ② 复合函数以及隐函数的偏导数和高阶导数; ③ 多元函数极值理论; ④ 参变量积分的一致收敛性判别; ⑤ 参变量积分的计算; ⑥ 参变量积分一致收敛性质的运用等。
考试要求
(1)掌握多元函数可微的定义，能熟练利用定义证明多元函数的可微性，掌握多元函数可微、连续、偏导之间的关系。
(2)熟练掌握多元函数复合函数求偏导数尤其是高阶偏导数，掌握方程或方程组确定的隐函数偏导的计算。
(3)熟练掌握多元函数极值的计算，并能计算有界闭域上连续函数的最值。
(4)要求学生能够熟练掌握含参量积分的概念以及敛散性的判别方法，了解常见的两个欧拉积分。
6、多元积分学
考试内容
①二重积分、三重积分的计算; ② 格林公式、高斯公式的灵活运用;③两类曲线积分、两类曲面积分的计算。
考试要求
(1)熟练掌握二重积分、三重积分的计算，熟练掌握降维、换元法，尤其是极坐标、球坐标变换。
(2)熟练掌握Green公式、Gauss公式的条件和结论。
(3)熟练掌握第一型曲线积分与第二型曲线积分的概念及计算方法，理解两类曲线积分的关系。
(4)掌握平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数，熟练掌握利用Green公式求第二类曲线积分。
(5)熟练掌握第一型曲面积分与第二型曲面积分的概念与计算，以及灵活运用高斯公式与斯托克斯公式。
三、参考书目
[1] 华东师大数学系编，数学分析，北京：高等教育出版社，2011，第四版。
[2] 欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传璋编，数学分析，北京：高等教育出版社，2007，第三版。
[3] 陈纪修、於崇华、金路编，数学分析，北京：高等教育出版社，2019，第三版。
完整内容见https://gra.hutb.edu.cn/zsgz/sszs/ksdg/content_69996
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