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天津职业技术师范大学

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2019年天津职业技术师范大学《数学分析》 考试大纲

天津职业技术师范 考研大纲

2019-05-27

2837

  考试基本要求:
  要求考生比较系统地理解数学分析的基本概念和基本理论,掌握数学分析的基本思想和方法。要求考生具有逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
  考试内容和要求:
  一、极限理论
  考试内容
  数列极限和函数极限的概念和收敛的基本性质 四则运算 收敛准则 连续函数定义性质 闭区间上连续函数的性质
  考试要求
  1.数列极限 理解数列极限的
定义,掌握收敛数列的基本性质及数列收敛的条件,掌握极限及其应用。

  2.函数极限 理解各种类型的一元函数极限的定义(
语言),掌握函数极限的基本性质、归结原则和柯西收敛准则,掌握两个重要极限及其应用,熟练掌握求函数极限的各种方法,掌握无穷小量与无穷大量阶的比较。
  3.函数的连续性 理解函数连续与间断的概念及一致连续性概念。理解连续函数的局部性质。掌握有界闭集上连续函数的性质(有界性、最值性、介值性、一致连续性)。
  二、一元函数微分学
  考试内容
  导数和微分的定义高阶导数 导数和微分的四则运算 复合函数的求导 中值定理,洛比达法则,泰勒公式 函数的几何形状
  考试要求
  1. 导数与微分 理解函数在某一点导数与微分的准确定义。掌握连续、可导与可微的关系。掌握导数各种形式的计算方法,掌握一阶微分形式不变性。
  2.微分学基本定理及其应用 理解掌握罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理, 泰勒公式(Peano余项与Lagrange余项)及应用。熟练掌握洛比达法则求极限。掌握函数单调性判别法,极值、最值、曲线凹凸性讨论。
  三、一元函数积分学
  考试内容
  定积分的定义和几何意义 不定积分和定积分的计算 微积分基本定理 变限积分反常积分
  考试要求
  1.不定积分 理解原函数与不定积分概念,掌握不定积分的基本计算方法(直接积分法、换元法、分部积分法),会求简单有理函数积分。
  2.定积分 理解定积分概念与几何意义,掌握定积分性质(关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理)及应用。理解变上限积分函数,掌握微积分基本定理,掌握牛顿-莱布尼兹公式及定积分计算,掌握定积分第二中值定理应用。
  3.广义积分 理解掌握无穷积分概念、柯西收敛准则,绝对收敛与条件收敛。掌握
非负时的收敛性判别法(比较原则、柯西判别法)。掌握阿贝尔判别法、狄利克雷判别法。掌握无界函数广义积分概念及其收敛性判别法。
  四、数项级数和函数项级数
  考试内容
  数项级数的收敛性判别法 绝对收敛条件收敛函数项级数一致收敛性判别法 幂级数 傅里叶级数
  考试要求
  1.数项级数 掌握级数及其敛散性,掌握柯西准则及收敛必要条件,理解收敛级数基本性质。掌握正项级数收敛的充要条件及比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式。掌握交错级数的莱布尼兹判别法,掌握一般项级数的绝对收敛、条件收敛性 ,阿贝尔判别法,狄利克雷判别法 。
  2.函数项级数 理解函数列与函数项级数的一致性收敛性,掌握一致收敛性判别法(魏尔斯特拉斯M-判别法、阿贝尔判别法及狄利克雷判别法)及柯西收敛准则。掌握函数项级数的性质及其应用。
  3.幂级数 掌握幂级数概念及收敛半径与收敛域。掌握阿贝尔定理。掌握幂级数的逐项可积性、可微性及其应用。掌握和函数及其求法。掌握函数展开成泰勒级数、麦克劳林级数 。
  傅里叶级数 理解三角级数、三角函数系的正交性。掌握以2
、2为周期的周

  期函数的傅里叶级数展开。掌握函数展开成正弦级数及余弦级数。理解掌握收敛性定理。
  五、多元函数微分学
  考试内容
  多元函数的极限 二元连续函数 偏导数 可微 高阶偏导数 拉格朗日乘子法隐函数定理
  考试要求
  1.偏导数与全微分 理解掌握偏导数、全微分定义及其几何意义,掌握可微与偏导存在、连续之间的关系,掌握复合函数的偏导数与全微分。掌握方向导数与梯度定义及求法,会求高阶偏导数。
  2.隐函数定理与微分的应用 理解隐函数存在定理及隐函数组存在定理,掌握隐函数及隐函数(组)求导方法。掌握几何应用(平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线)。掌握极值问题研究(必要条件与二元极值的充分条件),会拉格朗日乘数法求条件极值。
  六、多元函数积分学
  考试内容
  重积分的定义及几何意义变量代换 极坐标 球面坐标和柱面坐标 第一、二型曲线积分 第一、二型曲面积分 格林公式 高斯公式
  考试要求
  1.重积分 理解二重积分概念及其几何意义,掌握二重积分的计算(化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换)。理解三重积分概念,掌握三重积分计算(化为累次积分、柱坐标、球坐标变换)。重积分的应用(体积、曲面面积、重心等)。
  2.曲线积分与曲面积分 理解第一型曲线积分、曲面积分的概念及基本性质。掌握第一型曲线积分、曲面积分计算方法。理解第二型曲线积分概念及性质,掌握第二型曲线积分计算。掌握格林公式内容及应用,理解平面曲线积分与路径无关的条件。掌握曲面的侧、理解第二型曲面积分的概念及性质,掌握第二型曲面积分计算,掌握高斯公式内容及应用。
  七、含参变量积分
  考试内容
  含参变量积分的定义含参变量积分与函数项级数的关系 含参变量反常积分的一致收敛性
  考试要求
  1.掌握含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性,运算顺序的可交换性。
  2.掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法(魏尔斯特拉斯M判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法),含参量反常积分的连续性、可微性、可积性。
  主要参考书目:
  《数学分析》,华东师范大学数学系编, 2004年12月第3版,高等教育出版社出版

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