2019考研:经济学每日一练2017.11.17
【每日一练】
设某消费者的效用函数为柯布-道格拉斯类型的,即
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117093337883.png)
,商品
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117093508388.png)
和商品
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117093538818.png)
的价格分别为
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和
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117093657830.png)
,消费者的收入为
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117093732152.png)
,
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117093800488.png)
和
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117093828771.png)
为常数,且
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。
(1)求该消费者关于商品
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117093508388.png)
和
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117093538818.png)
的需求函数。
(2)证明当商品
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117093508388.png)
和
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117093538818.png)
的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时,消费者对两商品的需求关系维持不变。
(3)证明消费者效用函数中的参数
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117093800488.png)
和
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117093828771.png)
分别为商品
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117093508388.png)
和商品
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117093538818.png)
的消费支出占消费者收入的份额。
【考察点】
本题考查的是常用的效用函数——柯布-道格拉斯型效用函数的相关问题。
【解析】
(1)由消费者的效用函数
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117094144294.png)
,可得:
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117094231618.png)
消费者的预算约束方程为
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117094318568.png)
①
根据消费者效用最大化条件:
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117094355155.png)
②
得:
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117094422170.png)
③
解方程组③,可得:
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117094453486.png)
④
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117094523241.png)
⑤
关系式④和⑤即为消费者关于商品
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117093508388.png)
和商品
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117093538818.png)
的需求函数。
(2)当商品
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117093508388.png)
和
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117093538818.png)
的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时,相当于消费者的预算线变为:
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117094728427.png)
⑥
其中
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117094756146.png)
为一个非零常数。
此时消费者效用最大化的均衡条件变为:
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117094835974.png)
⑦
由于
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117094910422.png)
,故方程组⑦化为:
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117094936966.png)
⑧
显然,方程组⑧就是方程组③,故其解就是式④和式⑤。
这表明,消费者在这种情况下对两种商品的需求关系维持不变。
(3)由消费者的需求函数④和⑤,可得:
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117095002649.png)
⑨
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117095026755.png)
⑩
关系式⑨的右边正是商品
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117093508388.png)
的消费支出占消费者收入的份额。关系式⑩的右边正是商品
![](http://jixun.iqihang.com/uploadfile/2017/1117/20171117093538818.png)
的消费支出占消费者收入的份额,故结论被证实。
【点评】
柯布-道格拉斯型效用函数是效用函数中常见的函数之一,切忌与柯布-道格拉斯生产函数混淆。题目所得结论也可在选择题中直接利用。
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